[ James Owen Weatherall (2018), “The Peculiar Logic of the Black-Scholes Model”, Philosophy of Science, 85(5): 1152-1163. ]
1. Introduction
2. The Black-Scholes-Merton Model
3. The Volatility Smile
4. Why Use a Broken Model?
5. Conclusion
1. Introduction
1152-1153
- 블랙-숄즈(-머튼)(이하 BSM) 모형은 금융 상품을 특징짓는 여러 매개변수 간의 관계를 설정함.
- BSM 모형과 다른 모형의 공통점: 여러 가정을 기반으로 하며, 가정들이 종종 논란의 여지가 있거나 기껏해야 근사적 참인 것으로 알려져도 사용됨.
- BSM 모형의 이례적인 점: 주요 응용에서 모형의 산출물이 핵심 가정 중 하나와 명시적이고 신빙성 있게 모순됨.
- 웨더럴은 BSM 모형의 이상한 특징에도 불구하고 특정 응용 분야에서 계속 사용하는 것이 정당하고 유익하다고 주장함.
• 이 모형은 가정이 실패하는 정도를 측정하는 방법을 제공하고, 이를 통해 시장 상황에 대한 새로운 통찰력을 제공하기 때문에 유용함.
1153
- 2절: 모형의 가정에 대한 논의를 포함하여 옵션과 BSM 모형에 대한 몇 가지 배경 지식
- 3절: 모형의 몇몇 응용 사례를 기술하고, 주요 응용 중 하나에서 BSM 모형이 스스로 모순되는 것으로 보이는 것을 도출함.
- 4절: 이러한 상황에 대해 취할 수 있는 세 가지 태도를 제시함.
- 5절: 이러한 사례가 경제 모델링의 철학에서의 문제와 어떤 관련이 있는지 간단히 언급함.
2. The Black-Scholes-Merton Model
1153-
- 옵션(option)은 보유자에게 미래의 특정 시점(만기)에 미리 정해진 가격(행사 가격)으로 자산(기초 자산)을 매수할 수 있는 권리(의무는 아님)를 부여하는 계약임.
- 옵션은 만기에 기초 자산(underlying asset)의 시장 가격이 행사 가격(strike price)을 초과할 것이라는 내기로 생각할 수 있음. 시장 가격과 행사 가격의 차이에 따라 보상이 결정됨.
- 옵션 가격책정(options pricing)의 문제는 현재 시장 가격이 주어진 기초자산에 대해 행사가격과 만기가 정해진 옵션에 대해 지금 얼마를 지불할지 결정하는 것임.
- BSM 모형은 옵션 가격책정 문제에 대한 해결책을 제공함.
■ BSM 모형의 네 가지 주요 가정 [p. 1154]
- 가정(1): GBM
• 기초 자산 가격 S는 확률미분 방정식 dS = 𝜇Sdt + 𝜎SdZ를 만족함.
• Z: 위너 과정(Wiener process)
• 𝜇: (상수) 백분율 추세(drift)
• 𝜎: (상수) 백분율 변동성(volatility)
- 가정(2): Ito
• 옵션 가격 C(S, t)는 S와 t의 2계 미분가능 함수임.
- 가정(3): DH
• 트레이더는 연속적으로 거래할 수 있고 거래 비용 없이 임의로 큰 롱/숏 포지션을 취할 수 있음.
- 가정(4): CAPM
• 무위험 자산이 존재하며, 이러한 모든 자산은 고정된(알려진) 수익률 r을 얻음.
- 이러한 가정으로부터, 옵션 가격 C를 방금 기술한 다른 매개변수와 연관시키는 공식을 도출할 수 있음.
- 핵심은, S와 C를 포괄하는 확률 미분 방정식에 동일한 위너 과정이 나타나며, 따라서 dZ항이 상쇄되는 dS와 dC의 선형 조합을 구성할 수 있음을, GBM과 Ito가 함축한다는 것임.
- 이는 정의상 무위험 포트폴리오를 생성하며, CAPM에 따르면 이 포트폴리오는 무위험 수익률 r을 얻어야 함.
- 이러한 항들은 블랙-숄츠 방정식을 도출함.
- 이는 확률미분방정식이 아니라 편미분 방정식임.
- 블랙-숄츠 식은 블랙-숄츠 방정식의 해이며 다음과 같이 쓸 수 있음.
• K: 옵션의 행사 가격
• 𝜏: 만기까지의 시간
• 이는 문제의 경계 조건에 의해 고정된 적분 상수로 나타남.
3. The Volatility Smile
1155
- 1973년 BSM 공식이 처음 발표되었을 때 옵션 거래는 규모가 작고 체계적이지 않은 사업이었음.
• 널리 통용되는 옵션 가격책정 방법도 없었고 옵션 가치에 대한 이해도 거의 없었음.
- 이러한 상황에서 BSM 공식은 자연스럽게 적용됨.
• 옵션 매개변수 K와 𝜏, 시장가치 S와 r, 𝜎에 관한 누군가의 기대값(또는 역사적 가치)를 사용하여 “공정한” 옵션 가격 C를 계산함.
• 이 계산은 시장 가격을 비교할 수 있는 기준선을 제공하여 과대 가격이나 과소 가격이 책정된 옵션을 식별할 수 있음.
- 이 전략은 1980년대 초 이전까지 수익성이 있었음.
• 이 때까지는 시장 가격이 BSM 가격과 일치했기 때문에 BSM 공식을 사용하는 것만으로는 상대적으로 적은 이익을 얻었음.
1155
- 이 무렵, BSM 공식의 두 번째 응용이 등장함.
• 공식을 효과적으로 뒤집어 C, S, r의 시장 가치를 사용하여 𝜎를 계산하는 것.
- BSM 공식에 들어가는 매개변수 중 일부는 쉽게 관찰가능함.
• 고려 중인 옵션을 포괄하는 K와 𝜏 같은 매개변수나 C, S, r 같은 시장 가격
- 그러나 기초자산의 미래 변동성은 관찰불가능함.
- BSM 공식을 뒤집으면 관측가능한 양으로부터 관찰가능한 양을 계산할 수 있음.
- 이렇게 계산된 값을 내재 변동성(Implied Volatility)이라고 함.
1155-
- 내재 변동성은 유용한 것으로 밝혀짐.
• 자산의 미래 변동성에 대한 시장 기대치에 대한 어떠한 통찰을 제공함.
• 옵션 가격을 기초 자산의 가격과 옵션 행사가격 등 다른 (변화하는) 수량에 상대화함.
• 따라서 이는 가격을 대체할 수 있는 유용한 대체수단을 제공하고, 옵션이 다른 관심 수량보다 얼마나 비싼지에 대한 정보를 인코딩함.(내재 변동성이 높을수록 옵션은 더 비쌈.)
• 옵션 트레이더는 거래를 기술할 때 내재 변동성을 인용함.
그러나 내재 변동성은 유용한 만큼 문제도 발생할 수 있음.
특히, BSM 모형은 𝜎의 값에 대해 강한 가정을 함. 𝜎는 기초자산의 확률 역학을 특징짓는 (상수) 매개변수로 나타나며 해당 자산에 기록된 특정 옵션이 아님.
따라서 𝜎는 옵션 매개변수 K 및 𝜏와 독립적이어야 함.
1156
1980년대에 내재 변동성이 처음 사용되었을 때, 예상대로 내재 변동성은 (본질적으로) K와 𝜏와 독립적이었음.
그러나 1987년 10월 19일 시장 폭락(BSM 모형이 광범위하게 개입된 폭락) 이후 옵션 시장은 변하기 시작함.
트레이더들은 옵션의 내재 변동성과 해당 옵션을 특징짓는 매개변수 사이에 놀라운 관계가 있음을 알아차리기 시작함.
만기까지 정해진 시간 동안 행사 가격이 현재 가격과 거리가 먼 옵션(즉, 가격이 급변할 때만 행사되는 옵션)은 내재 변동성이 더 높았음.
즉, 옵션이 가치가 있을 가능성이 높을수록 옵션의 가격은 (내재 변동성으로 측정할 때) 더 비싸지게 됨.
이러한 비-정상적인 작동은 변동성 미소(volatility smile)로 알려짐.
변동성 미소는 매우 이상한 것으로 인식되었음.
겉으로 보기에는 BSM 모형에 모순이 있거나 적어도 BSM 모형과 이러한 응용의 결과 사이에 모순이 있음을 시사함.
암시합니다.
BSM 모형은 특정 매개변수가 일정한 값을 갖는다고 가정하는 것으로 시작함.
이 가정을 통해 해당 매개변수와 다른 시장 매개변수 사이의 관계, 즉 BSM 공식을 도출할 수 있음.
그러나 시장 상황을 관찰하다 보면 BSM 공식을 통해 이 공식의 기초가 되는 가정이 맞지 않음을 발견하게 되고, 이는 해당 매개변수를 계산한 공식의 근거가 약화되는 결과를 발생함.
이러한 분석 결과는 최소한 BSM 공식이 포착한 관계가 미래 변동성, 기초자산 가격, 실제 시장에서의 옵션 가격 간의 관계를 정확하게 포착하지 못함을 보여줌.
1156-1157
그럼에도 불구하고 트레이더들은 내재 변동성 계산 등 다양한 용도로 BSM 모형이나 가까운 변형을 계속 사용함.
쟁점은 이 모형의 가정과 결과 사이의 긴장이 인식되지 않았다는 것이 아니라, 잘 알려져 있다는 것임.
- 파생상품 모형제작자 더먼과 밀러
“미소의 존재는 이론과 실무 모두에서 옵션 가치 평가에 대해 깊고 흥미로운 문제를 제기한다. [...] 실제 시장에서 볼 수 있는 평평하지 않은 미소는 실제 옵션 시장이 BSM 모형을 위반한다는 것을 말한다. 그런데도 트레이더들은 어디에서나 옵션 가격을 산정할 때 내재 BSM 변동성을 사용한다. [...] 시장이 시장에서 벗어난 가격을 도출하기 위해 작동하지 않는 모형을 사용한다는 것은 이상하고 신비한 일이다.”(Derman and Miller 2016, 133).
4. Why Use a Broken Model?
1157
- 3절의 초점은 BSM 모형이 망가졌다는 느낌이 있는 것임.
- 그러나 이러한 비-정상적인 동작에도 불구하고 이 모형은 계속 사용되고 있음.
- 더 나쁜 것은 이 모형이 해당 모형의 문제를 드러내는 목적으로 사용된다는 것임.
- 이 “이상하고 불가사의한” 관행을 설명할 수 있는 것은 무엇인가?
1157
웨더럴은 변동성 미소에 대한 세 가지 태도를 제시함.
웨더럴 개인의 경험 이외에는 증거가 없기는 하지만, 이러한 태도는 트레이더와 퀀트 분석가 사이에서 발생함.
- 태도(1): BSM 모형은 망가지지 않았으며, 변동성 미소를 적절하게 해석하면 GBM과 양립할 수 있다는 관점
웨더럴은 이 태도를 양립가능주의(compatibilism)라고 부름.
이는 시장 참여자가 미래 변동성에 대해 기대하는 것을 측정하는 (a) 내재 변동성(implied volatility)과 미래 수익률에서 실제로 나타날 변동성의 정도와 관련된 (b) 실제 변동성(actual volatility)을 구분해야 한다는 것임.
이러한 태도에 따르면 변동성 미소는 엄격한 모순이 아님.
GBM에 반영되는 것은 실제 변동성이며, 내재 변동성은 옵션 매개변수에 따라 달라질 뿐임.
따라서 BSM 모형의 모든 가정을 받아들이되, 변동성 미소를 통해 옵션을 거래할 때 다른 매개변수를 가진 시장 참여자자들이 미래 변동성에 대한 다양한 믿음을 가지는 경향이 있음을 보여줄 수 있음.
또한 다양한 매개변수가 있는 옵션의 수요와 공급에 대한 다양한 사실이 시장 가치를 왜곡하는 것도 가능함. 일부 트레이더가 추가 프리미엄을 기꺼이 지불할 의향이 있기 때문.
1157-1158
양립가능주의는 아마도 내구성이 있을 것이며, 엄격한 모순이 없다는 핵심 통찰은 확실히 맞음.
그러나 이 견해에는 몇 가지 매력적이지 않은 특징이 있음.
예) 이 입장을 이해하는 한 가지 방법은 미래 시장 수익률이 도출될 확률 변수의 분포에 대한 사실이 존재한다는 확률에 대한 관점을 채택하는 것임.
그런 다음 GBM은 이것이 주어진 시간에 따른 분산 𝜎²t을 가지는 정규 분포여야 함을 의미함. 여기서 𝜎는 BSM 공식에 나타나는 매개변수.
양립가능주의자는 이 매개변수가 어떤 값을 가지는지에 대한 사실이 있지만 시장 참여자들은 일반적으로 이에 대해 동의하지 않는다고 말해야 함.
즉, BSM 모형은 일관성이 없는 것은 아니지만, 시장 참여자가 정확히 결정하기 매우 어럽다는 것을 알기를 요구하기 때문에, 그다지 유용하지도 않음.
1158
변동성 미소에 반영된 𝜎에 대한 이러한 광범위한 불일치는 다른 방식으로 해석할 수 있음. 시장 참여자들은 일반적으로 미래 수익을 정확하게 반영하는 𝜎의 값이 없다고 생각하기 때문에 변동성 미소가 단일 값의 𝜎와 양립할 수 없다고 생각할 수 있음.
즉, 시장 참여자는 일반적으로 GBM과 BSM 모형을 함께 거부함.
물론 개별 양립가능주의자는 이를 받아들이고, 다른 시장 참여자들과 동의하지 않기 때문에 BSM 모형을 계속 사용할 수도 있음.
그러나 이는 대부분의 트레이더가 BSM 모형이 잘못되었다고 믿는 것이기 때문에 이 모형이 널리 사용되는 것을 설명할 수 없음.
그러나 이것이 맞다면 왜 BSM 모형은 여전히 널리 사용되는가?
한 가지 대답은 이 모형에 대한 두 번째 가능한 태도를 반영. 웨더럴은 이를 교역 지대(TZ) 태도라고 부름.
이 태도에 따르면 BSM 모형은 미래 수익률 확률에 대해 잘못된 가정을 하므로 옵션 가격과 다른 시장 변수 간의 관계에 대한 신뢰할 수 있는 지침을 제공하는 데 사용하면 안 됨.
그럼에도 불구하고 이 모형의 개념적 틀은 옵션에 대해 추론하고 논의하는 데 여전히 유용함.
BSM 모형이 여전히 유용하다고 생각하는 이유는 BSM 공식이 포착한 매개변수 간의 관계가 정확하지 않더라도 옵션 가격과 관련된 것으로 밝혀진 시장 매개변수에 주목하기 때문임.
여기에는 기초자산 가격과 같은 명백한 매개변수뿐만 아니라 방정식 (1)에 나타나는 덜 분명한 매개변수도 포함됨.
실제로 이러한 부분 파생상품(이를 나타내는 데 사용되는 문자 때문에 그리스문자라고도 함)은 트레이더와 애널리스트가 가능한 거래를 평가하는 데 널리 사용됨.
1158-1159
이러한 맥락에서 두드러진 매개변수를 선택하는 것은 특히 중요한데, BSM 모형이 잘못되었다는 광범위한 동의가 있지만 보편적으로 받아들여지는 대안이 없기 때문임.
즉, 트레이더는 다양한 모형을 사용하지만, 그럼에도 불구하고 BSM 모형의 언어를 사용하여 서로 의사소통할 수 있음.
또한 많은 회사가 그들의 (독점) 모형의 세부 사항이 공개될 경우 가치가 손상될 수 있다고 생각함.
그러나 옵션 트레이더와 애널리스트는 거래를 체결하기 위해 다른 회사의 트레이더와 소통해야 하는 경우가 많음.
BSM 모형은 트레이더와 브로커가 개인 정보를 공개하지 않고 소통하는 데 사용할 수 있는 회사 독립적인 기준선을 제공함.
이는 BSM 모형이 중요한 경우에 실패한다는 데 모두가 동의하지만, 특히 가격 대신 내재 변동성을 인용하는 등의 목적으로 계속 사용해야 하는 강력한 이유를 제공함.
1159
같은 질문에 대한 두 번째, 다른 대답이 있는데, 여러 면에서 더 흥미로움.
정보주의적 태도(informativist attitude)
이 관점에서는 BSM 모형의 결함을 인정하지만, 유용한 정보를 제공하기 위해 변동성 미소를 취함.
특정 옵션에 대해 BSM 모형이 실패하는 방식(해당 옵션과 관련된 내재 변동성 곡선에 반영됨)을 연구함으로써 (몇 가지 추가 가정을 전제로) 미래 확률에 대한 시장 기대치 등의 정보를 추출할 수 있음.
BSM 모형은 여러 회사 간의 의사소통을 위한 것이 아니라 실제 시장 상황을 평가할 수 있는 일종의 기준선 역할을 함.
이것이 어떻게 작동하는지 보려면 BSM 모형이 궁극적으로 옵션의 “공정” 가격으로 옵션의 미래 할인 기대 보상이 사라지는 가격(즉, 수익성이 없을 가능성이 높은 가격)을 제공하는지 관찰할 것
예상 보상을 계산하려면 기초자산의 미래 수익률에 대한 확률 분포를 가정해야 함.
이 가정은 GBM에 있으며, 이 분포는 분산 𝜎²t에서 정규 분포가 될 것임을 의미함
1159
GBM은 이토의 보조정리(lemma)를 발동하고 위험 없는 포트폴리오를 도출할 수 있는 것은 이러한 가정이기 때문에 BSM 주장에서 필수적인 역할을 하지만 GBM을 의심할 만한 이유가 있음.
특히 𝜎에 대한 추정치를 추출하기 위해 정규 분포로의 과거 수익률을 맞출 수 있지만 일반적으로 적합도가 매우 좋지는 않음.
많은 자산의 경험적 수익률은 사라지지 않는 왜곡과 과도한 첨도가 있는 분포에 더 잘 맞음.
또한 변동성 미소의 질적 특징은 시장 참여자들이 미래 수익률에도 이러한 속성이 있을 것으로 예상하는 경향이 있음을 시사함.
일반적인 변동성 미소는 수익성이 낮은 옵션이 상대적으로 더 비싸다는 것을 보여주며, 이는 트레이더가 수익률이 정상적으로 분배된 경우보다 해당 이벤트에 더 높은 확률을 할당한다는 것을 나타냄.
1159-1160
BSM 모형의 기본 틀을 당연한 것으로 받아들였지만, 기본 자산의 미래 수익률은 비-정규 분포로 추정되는 다른 분포에서 추출될 것으로 이해했다고 가정하자.
그런 다음 이 대체 분포가 주어졌을 때 옵션의 "공정한" 가격이 얼마인지 물어볼 수 있음.
이러한 방식으로 가격이 계산된 다양한 옵션을 고려하고 해당 가격으로부터 변동성에 함축된 (BSM)을 도출한다면, 행사 가격에 따라 내재 변동성이 달라지는 것을 발견할 수 있음.
즉, 시장 참여자들이 미래 수익률에 대한 실제 분포가 비-정상적이라고 믿는다면 변동성 미소가 발생할 것임.
이러한 방식으로 생성된 변동성 미소의 모양은 가격을 계산하는 데 사용되는 확률 분포의 특성을 상당히 직접적인 방식으로 반영함.
미소의 곡률(2차 미분)은 첨도에 비례하여 변화하고, 미소의 왜도(또는 1차 미분)는 확률 분포의 왜도에 따라 변화함.
1160
반대 방향으로 추론하면, 시장 참여자가 특정 미래 사건에 할당될 가능성에 대한 실제 시장의 변동성 미소를 통해 추론할 수 있음.
실제로 변동성 미소는 일반적으로 기초자산의 수익률에 대한 내재(비-정상) 분포를 도출하는 데 사용될 수 있음.
이는 특정 범위의 수익률에 대한 시장의 기대치를 조사하는 상세하고 거래가능한 정보이며, 그렇지 않으면 획득하기가 매우 어려울 것임.
중요한 점은 BSM 모형이 분해된다는 이유만으로 BSM 모형으로부터 해당 정보를 얻을 수 있다는 것임.
5. Conclusion
■ 논문에서 다룬 것 요약 [p. 1160]
- BSM 모형을 사용하여 내재 변동성을 계산할 때 발견되는 예상치 못한 패턴(변동성 미소)
를 제시함.
- 변동성 미소가 계산에 사용된 바로 그 모형과 모순되는 것처럼 보이는 이유
- 변동성 미소에 대해 취할 수 있는 세 가지 태도와 BSM 모형을 계속 사용하는 이유
• 이러한 태도는 반드시 양립할 수 있는 것은 아님.
• 교역 지대 태도와 정보주의적 태도를 모두 수용할 수 있지만 중요한 다른 고려 사항을 추적하기 때문에 변동성 미소에도 불구하고 개별 트레이더가 BSM 모형을 계속 사용하는 것을 설명할 수 있음.
(2024.10.07.)
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