■ 무리방정식과 풀이
- 무리방정식: 미지수에 대한 무리식을 포함하는 방정식
- 무리방정식의 풀이
• (1) 무리방정식의 항들을 적절히 이항하고, 양변을 제곱하는 계산 과정을 반복하여 다항방정식으로 변형한다.
• (2) (1)에서 얻은 다항방정식을 푼다.
• (3) (2)에서 구한 다항방정식의 근 중에서 무리방정식의 근이 아닌 것을 제외한다.
■ 무연근
무리방정식 A=B에서, A=B ⇒ A²=B² 이므로,
무리방정식 A=B의 근은 모두 방정식 A²=B²의 근이 된다.
그런데 A²=B² ⇔ (A－B)(A＋B)=0 이므로
방정식 A²=B²의 근에는 무리방정식 A=B의 근뿐만 아니라 무연근인 A=－B도 포함된다.
따라서 변형된 방정식의 근이 주어진 무리방정식의 근이 되는지 반드시 확인하여야 한다.
예제1) 다음 무리방정식을 풀어라.
√x+5+1 = x
풀이)
√x+5+1 = x
√x+5 = x−1
양변을 제곱하면
𝑥＋5 = 𝑥²－2𝑥＋1
𝑥²－3𝑥－4 = 0
(𝑥－4)(𝑥＋1) = 0
∴ 𝑥 = 4 또는 －1
𝑥 =－1은 무리방정식의 근이 아니다.
따라서 𝑥 = 4
예제2) 다음 무리방정식을 풀어라.
√x−√2 x+1 = 1
풀이)
√x−√2 x+1 = 1
√x−1 = √2 x+1
양변을 제곱하면
x+2√x+1 = 2x+1
x=2√x
다시 양변을 제곱하면
𝑥² = 4𝑥
𝑥²－4𝑥 = 0
𝑥(𝑥－4) = 0
∴ 𝑥 = 0 또는 4
𝑥 = 0와 𝑥 = 4는 무리방정식의 근이 아니다.
따라서 해가 없다.
■ 공통되는 부분을 치환
- 공통되는 부분을 치환하여 문제를 풀 수도 있다.
예제3) 무리방정식 𝑥²－3𝑥＋1 = √(2𝑥²－6𝑥＋1)을 풀어라.
풀이)
𝑥²－3𝑥＋1 = √(2𝑥²－6𝑥＋1)
𝑥²－3𝑥 = 𝑡 (𝑡≥－½)라고 하면
𝑡＋1 = √(2𝑡＋1)
양변을 제곱하면
𝑡²＋2𝑡＋1 = 2𝑡＋1
𝑡² = 0
𝑡 = 0
𝑡 = 𝑥²－3𝑥 이므로
𝑥²－3𝑥 = 0
𝑥(𝑥－3) = 0
∴ 𝑥 = 0 또는 𝑥 = 3
두 값은 무리방정식의 무연근이 아니므로 구하는 근이다.
예제4) 무리방정식을 𝑥²＋𝑥－√(𝑥²＋𝑥－3) = 9 를 풀어라.
풀이)
x2+x−√x2+x−3 = 9
√(𝑥²＋𝑥－3) = 𝑡 (𝑡≥0)라고 하면
𝑡²－𝑡－6 = 0
(𝑡＋2)(𝑡－3) = 0
𝑡 = －2 또는 𝑡 = 3
𝑡≥0이므로, 𝑡 = 3
𝑡 = √(𝑥²＋𝑥－3) 이므로
√(𝑥²＋𝑥－3) = 3
양변을 제곱하면
𝑥²＋𝑥－3 = 9
𝑥²＋𝑥－12 = 0
(𝑥＋4)(𝑥－3) = 0
∴ 𝑥 = －4 또는 𝑥 = 3
두 값은 무연근이 아니므로 구하는 근이다.
■ 무리방정식의 실근 개수의 범위를 구하는 문제
예제5) 무리방정식 √(𝑥－1) = 𝑥＋𝑘 가 서로 다른 두 실근을 가지는 실수 𝑘의 값의 범위를 구하시오.
풀이) 주어진 무리방정식의 실근은 두 함수 𝑦 = √(𝑥－1), 𝑦 = 𝑥＋𝑘 의 그래프가 만나는 점의 𝑥좌표이다.
𝑦 = √(𝑥－1)에 접하는 𝑦 = 𝑥＋𝑘가 직선 ①과 직선 ②의 사이에 있을 때 서로 다른 두 실근을 가진다.
(i) 직선 𝑦 = 𝑥＋𝑘가 𝑦 = √(𝑥－1)에 접할 때
주어진 방정식의 양변을 제곱하면
√(𝑥－1) = 𝑥＋𝑘
𝑥－1 = 𝑥²＋2𝑥𝑘＋𝑘²
𝑥²＋2𝑥𝑘－𝑥＋𝑘²＋1 = 0
𝑥²＋(2𝑘－1)𝑥＋𝑘²＋1 = 0
이 이차방정식이 중근을 가지므로
𝐷 = (2𝑘－1)²－4(𝑘²＋1) = 0
4𝑘²－4𝑘＋1－4𝑘²－4 = 0
－4𝑘－3 = 0
4𝑘 = －3 ∴ 𝑘 = －¾
(ii) 𝑦 = 𝑥＋𝑘가 점 (1, 0)을 지날 때
0 = 1＋𝑘
𝑘 = －1
따라서, －1≤ 𝑘 ≤－¾
(2020.06.13.)
