■ 분수방정식
- 분수방정식: 분모에 미지수가 들어 있는 분수식을 포함하는 방정식
• 예)
1x+2x+4 = 12
- 유리방정식: 다항방정식과 분수방정식
• 다항방정식: 일차방정식, 이차방정식, 고차방정식 등 다항식으로 이루어진 방정식
■ 분수방정식의 풀이
- 풀이 방법
• (1) 분수방정식의 양변에 분모의 최소공배수를 곱하여 다항방정식으로 변형한다.
• (2) (1)에서 얻은 다항방정식을 푼다.
• (3) (2)에서 구한 다항방정식의 근 중에서 분수방정식의 분모를 0이 되게 하는 근을 제외한다.
예제) 다음 분수방정식을 풀어라.
$\frac{6}{x\left(x-2\right)}+\frac{3}{x-2}=1$
풀이)
6x(x−2)+3x−2=1
분수방정식 양변에 분모의 최소공배수인 𝑥(𝑥-2)를 곱하면
6－3𝑥 = 𝑥(𝑥－2)
𝑥²＋𝑥－6 = 0
(𝑥＋3)(𝑥－2) = 0
∴ 𝑥 = －3 또는 2
𝑥 = 2는 분수방정식의 분모를 0이 되게 하므로 근이 아니다.
따라서 𝑥 =－3
■ 무연근
- 무연근: 변형된 방정식의 근이면서 원래 방정식의 근이 아닌 것
• 분수방정식을 다항방정식으로 변형하여 푸는 경우, 분수방정식의 분모를 0이 되게 하는 다항방정식의 근이 무연근이다.
예제) 다음 분수방정식이 근을 가지도록 하는 상수 𝑎의 조건을 구하여라.
1x+1+1x−1=x+ax2−1
풀이)
1x+1+1x−1=x+ax2−1
x−1(x+1)(x−1)+x+1(x−1)(x+1)=x+ax2−1
분수방정식 양변에 분모의 최소공배수인 (𝑥＋1)(𝑥－1)을 곱하면
𝑥－1＋𝑥＋1 = 𝑥＋𝑎
𝑥 = 𝑎
𝑥=1과 𝑥=－1은 분수방정식의 분모를 0이 되게 한다.
그러므로 𝑎≠±1
(2020.06.09.)
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