[고교 수학] 삼각함수(1) - 일반각, 호도법

■ 일반각

반직선 OA가 고정되어 있고, 또 다른 반직선 OP가 점 O를 중심으로 회전한다면,

- 고정된 반직선 OA는 ‘시초선’

- 회전하는 반직선 OP는 ‘동경’

​

동경이 회전하는 방향은 두 가지

- 음의 방향: 시계 바늘이 도는 방향과 같은 방향

- 양의 방향: 시계 바늘이 도는 방향과 반대 방향

동경 OP가 점 O를 중심으로 얼마나 회전하였는지 각도를 이용하여 표현.

음의 방향으로 회전하였을 때는 그 각도에 음의 부호를 붙임.

​

각을 동경이 회전하는 양이라고 정의하면

360°보다 큰 각과 음의 각도 생각할 수 있음.

이와 같이 확장하여 생각한 각이 ‘일반각’

​

일반각 α°를 나타내는 동경을 OP라고 한다면

​

α° + 360°×n (단, n은 정수)

​

시초선 OA를 x축의 양의 방향으로 잡을 때,

동경 OP가 제 몇 사분면에 있는가에 따라

제1사분면의 각, 제2사분면의 각, 제3사분면의 각, 제4사분면의 각

동경 OP가 좌표축 위에 있을 때, 그 각은 어느 사분면에도 속하지 않음.

■ 호도법

​

반지름의 길이가 r인 원에서 호의 길이가 반지름의 길이 r와 같을 때,

그 호에 대한 중심각의 크기는 r의 값에 관계없이 일정함.

- 1라디안: 반지름의 길이와 호의 길이가 같은 부채꼴의 중심각의 크기

- 호도법: 라디안을 단위로 하여 각의 크기를 나타내는 방법

한 원에서 중심각의 크기는 그에 대한 호의 길이에 비례하므로

반지름의 길이가 𝑟인 원에서 중심각의 크기가 𝜃라디안인 부채꼴의 호의 길이 𝑙은

​

𝑙 = 𝑟𝜃

​

따라서 𝜃 = 𝑙/𝑟 로 나타낼 수 있다.

​

* 그리스 문자 h는 세타(theta)라고 읽는다.

​

여기서 𝜃라디안은 호의 길이와 반지름의 길이의 비를 나타내는 실수이므로 보통 단위를 생략함.

반지름의 길이가 1인 원에서 길이가 𝜃인 호에 대한 중심각의 크기는 𝜃임.

따라서 반지름의 길이가 1인 반원의 호의 길이가 𝜋이고, 그 중심각의 크기가 180°이므로

​

180° = 𝜋

​

반지름의 길이가 1인 원에서 호의 길이와 그에 대한 중심각의 크기는 같음.

■ 호도법을 쓰는 이유

​

원점 O를 중심으로 하는 단위원에서

호도법으로 나타낸 각의 크기는 그 각에 대한 호의 길이와 같음.

그러므로, 일반각을 좌표평면 위에 나타낼 때도 호도법을 이용하면 편리함.

원점 O를 중심으로 하는 단위원 위에 고정된 점 A(1, 0)이 있고,

다른 한 점 P가 이 원 위를 움직인다고 하자.

반직선 OA를 시초선으로 하고 반직선 OP를 동경으로 하는 일반각을 호도법으로 나타내면 점 P가 움직인 거리와 같음.

​

* 단위원: 반지름의 길이가 1인 원

■ 호도법과 60분법의 관계

​

180° = 𝜋이므로 육십분법과 호도법 사이에 다음과 같은 관계가 있음.

​

1 = 180°/𝜋

1° = 𝜋/180

​

육십분법으로 나타낸 각은 호도법으로,

호도법으로 나타낸 각은 육십분법으로 고칠 수 있음.

​

​

■ 부채꼴의 호의 길이와 넓이

​

반지름의 길이가 𝑟이고 중심각의 크기가 𝜃인

부채꼴의 호의 길이가 𝑙 = 𝑟𝜃 이므로

​부채꼴의 넓이 S는

S = πr2 ×θ2π​

= r2 ×θ2​

=12​r2θ

=12​rl

(2020.12.15.)

[한국 가요] 펀치 (Punch)

찬열 & 펀치 - Stay With Me [드라마 <도깨비> 배경음악]

( www.youtube.com/watch?v=pcKR0LPwoYs )

(2017.01.09.)

[경제학의 철학] Hoover (2001), Ch 9 “Case Study I: The Causal Direction between Taxes and Government Spending in the Postwar Period” 요약 정리 (미완성)

      

[ Kevin D. Hoover (2001), Causality in macroeconomics (Cambridge University Press), pp. 227-249. ]

  Kevin D. Hoover and Steven M. Sheffrin (1992), “Causation, Spending, and Taxes: Sand in the Sandbox or Tax Collector for the Welfare State?”, The American Economic Review, 82(1): 225-248. ]

 

 

  9.1 Models and Causal Orderings

    9.1.1 A Model of Expenditure Smoothing

    9.1.2 A Double-Sided Cost-Benefit Model

    9.1.3 A Constant-Share Model

  9.2 A Chronology of the Tax and Spending Processes

  9.3 Evidence

    9.3.1 The Data

    9.3.2 Characterization of Distributions

    9.3.3 Observational Equivalence in Practice

    9.3.4 Out-of-Sample Projections

  9.4 Interpretation

  9.5 Conclusion

  Appendix. Data: Sources and Definitions

 

 

  9.1 Models and Causal Orderings

    9.1.1 A Model of Expenditure Smoothing

    9.1.2 A Double-Sided Cost-Benefit Model

    9.1.3 A Constant-Share Model

  9.2 A Chronology of the Tax and Spending Processes

  9.3 Evidence

    9.3.1 The Data

    9.3.2 Characterization of Distributions

    9.3.3 Observational Equivalence in Practice

    9.3.4 Out-of-Sample Projections

  9.4 Interpretation

  9.5 Conclusion

  Appendix. Data: Sources and Definitions

(2021.12.12.)

    

겸손의 중요성 - 수시 모집 편

학부 때 들었던 경제학과 <미시경제학> 수업에서, 담당 교수는 수시 모집 때 있었던 이야기를 했다. 사회과학계열 수시모집 면접에서 학생들에게 주로 질문하는 사람은 정치외교학과 교수나 사회학과 교수라고 한다. 경제학과 교수는 학생한테 물어볼 것도 없고 다른 교수들의 질문에도 관심이 없고 학생들이 하는 대답도 전혀 흥미롭지 않아서 무언가를 생각하는 척 눈을 감고는 졸다 깨다를 반복했다고 한다.

​

몽롱한 상태라 면접장에 학생이 몇 명이나 들어왔다 나갔는지 몰랐다고도 한다. 분위기가 이상해서 눈을 떠보니 어떤 학생이 다른 교수들의 대답에 막힘없이 척척 대답하고 있었고 면접장 분위기가 매우 우호적이었다. 교수들이 참 똑똑한 학생이라고 칭찬하니 학생이 우쭐했는지 “사실 저는 『맨큐의 경제학』을 떼었습니다”라고 했다고 한다. 그 말에 다른 교수들은 그 학생을 더욱 칭찬했다고 한다. 그런데 그 학생은 그 말을 하지 말았어야 했다.

​

『맨큐의 경제학』을 떼었다는 학생의 말을 듣자, 경제학과 교수는 가슴 속 깊은 곳에서 무언가가 치밀어 오르는 것을 느꼈다고 했다. 『맨큐의 경제학』을 뗐다니. 시간 날 때 『맨큐의 경제학』을 훑어본 것도 아니고 고등학생이 혼자서 『맨큐의 경제학』을 뗐다고? 대학에서도 두 학기에 나눠서 가르치는 책인데? 경제학이 그렇게 우스워?

​

- 경제학과 교수: “『맨큐의 경제학』을 한 번 읽어본 게 아니고 뗐다구요?”

- 고등학생: “네, 그렇습니다.”

- 경제학과 교수: “그렇다면 코끼리가 멸종위기에 처한 이유도 경제학적으로 설명할 수 있겠네요?”

​

우리는 돼지를 거의 매일 먹지만 돼지의 멸종을 걱정하지 않는다. 하지만 우리 주변의 어느 누구도 코끼리 고기를 먹지 않지만 코끼리는 멸종위기 동물이다. 『맨큐의 경제학』은 코끼리가 일종의 공유재산이라서 그런 현상이 발생한다고 설명한다. 사유재산인 돼지는 농장 주인이 자기 재산이니까 알아서 잘 키우지만 공유재산인 코끼리는 사냥만 하지 아무도 재생산하지 않기 때문이다.

​

교수는 그 당시를 회상하며 말했다. “그 때 그 학생은 제대로 대답하지 못했어요. 그 학생이 『맨큐의 경제학』 이야기만 하지 않았어도 이 학교를 다니고 있었을 텐데.”

​

겸손이 중요하다는 것은 아무리 강조해도 지나치지 않다.

​

​

(2016.10.25.)

땅콩밭의 고양이

고구마밭에 있는 고구마를 다 캐야 어머니가 친구들하고 단풍 구경 간다고 해서, 나도 며칠째 고구마를 캐고 있다. 곧 예순이 되는 어머니가 혼자서 고구마를 캐다 골병 들까봐 같이 고구마를 캐기로 했는데, 내가 먼저 골병들 것 같다. 삽으로 고구마를 캐느라 허리가 끊어지는 것 같다.

​

밤고구마와 달리 호박고구마는 흉악한 놈이다. 자라라고 만든 두둑에서 안 자라고 이상한 곳에서 자란다. 하도 깊숙한 곳에서 자라다 보니 삽으로 캐다 보면 색깔이 다른 흙이 나온다. 그런데 밤고구마나 호박고구마나 시장에서 거래되는 가격은 똑같다. 고구마 캐는 게 얼마나 힘든지 어머니는 욕을 하며 고구마를 캔다. “호박고구마가 비싸긴, 이걸 캐보고 나서 그런 소리를 하라고 해.”

​

고구마를 캐기 전에 땅콩을 먼저 캤다. 땅콩을 막 캐려고 할 때 고양이 두 마리가 다가왔다. <콩쥐팥쥐>에서처럼 동물들이 나를 도와주려고 하는 건가? 아니다. 고양이는 천성이 게으른 동물이다. 친엄마가 시키는 일이든 새엄마가 시키는 일이든 힘든 건 마찬가지인데, 고양이들은 내가 힘들든 말든 알 바가 아니다. 땅콩 사이에서 뛰고 장난치고 숨바꼭질을 했다.

일하는 데 전혀 도움은 안 되지만 그래도 고양이들이 노는 것을 보면 정서적으로 도움이 되니까 고양이들을 고구마밭에 데려가고 싶었다. 화천이 새끼들한테 고구마밭으로 가자고 했는데 새끼들은 들은 체도 않고 집에 들어갔다. 하여간 고양이는 사람 말을 참 안 듣는다.

​

​

(2016.10.24.)