2016/09/19

고등학교 수학 문제를 푸는 국제중 학생들

국제중학교에서 인지과학캠프 강사를 했다. 외고에서 했던 캠프가 잘 되어서 같은 재단의 국제중학교에서도 업체에 캠프를 신청했다고 한다. 업체도 중학생을 대상으로 한 캠프가 처음이라 이사도 긴장된다고 했다. 나는 피-고용인이라 그런지 별로 긴장하지 않았다.

한 반에 스무 명쯤 있었고 남녀 비율은 반반이었다. 여학생 중 절반은 수업하는 걸 잘 보았고 나머지 절반은 딴청 부렸으며, 남학생들은 한두 명 빼놓고 죄다 떠들고 딴청 부렸다. 어떤 남학생은 의자에 똑바로 앉지 못하고 45도쯤 삐딱하게 걸쳐 앉아 책상 밖으로 한 발을 내놓고 당장이라도 밖으로 뛰쳐나갈 자세로 있었다. 내가 교사였다면 “◯◯◯ 학생, 그렇게 삐딱하게 앉으면 허리가 안 좋아져요. 선생님한테 처맞아서 허리가 나빠져요”라고 했을 텐데, 하루 왔다가는 강사라서 고객한테 그럴 수 없었다. “야, 너 똑바로 앉아”라고만 했다.

학생들한테 지식의 종류를 설명하다가 ‘명제적 지식’과 ‘비명제적 지식’을 설명하게 되었다. 원래 교안에는 없었는데 흐름상 추가해야 할 것 같아서 내가 개인적으로 넣은 것이다. 강의 자료에 넣을 때는 생각 안 했는데 학생들한테 말할 때에야 명제는 고등학교 수학 시간에 배운다는 사실이 떠올랐다. 그래서 명제의 정의를 설명하려는데 학생들은 이미 명제가 무엇인지 알고 있었다. 어떻게 알았냐고 물으니 “그거 고등학교 수학에 나와요”라고 답했다.

학생들은 대부분 고2 수학까지 선행학습 했다. 학원에서 배웠다고 한다. 한 학생에게 실력이 어느 정도 되냐고 물으니 고등학교 내신 문제를 풀면 85점 정도 나온다고 했다. 85점이라니, 그 정도면 잘하는 편 아닌가? 아니라고 한다. “그거 ◯◯고 문제를 푼 건데요, 그 학교가 학력 수준이 높은 학교는 아니라서 그렇게 잘한 건 아니에요.”

고2 때도 고2 수학을 제대로 못했던 나로서는 중학생이 자기가 고2 수학을 푸는 걸 아무렇지도 않게 말하는 게 놀라웠다. 그런데 나중에 다른 사람한테 이런 이야기를 했는데 사람들은 이 사실을 아무렇지도 않게 받아들였다. 나보다 열 살 많은 박사 형님은 “그거 별거 아냐. 우리 때도 그랬어”라고 했고, 나보다 네 살 어린 석사과정생도 “요즈음은 거기(국제중) 말고도 서울에 그렇게 하는 애들 많아요. 그게 그렇게 대단한 게 아니에요”라고 했다.

선행학습 해서 중학생이 고등학교 수학 문제 푸는 건 방송에서만 봤지 실제로 그런 애들을 본 건 처음이었다. 나는 촌동네에 살았고 중학교도 동네에 있는 중학교를 다녔다. 거기서는 제대로 진도 나가는 것조차 벅찰 만큼 학생들의 전반적인 학력 수준이 낮았다. 지금도 동네 학부모들 이야기를 들으면, 고등학교 전교생 중 절반 이상은 문과 수학 내신 시험에서 40점도 못 받는다고 한다. 마침 나는 서울에서 과외 할 때도 못 하는 애들만 과외를 했다. 그러니 국제중 애들을 보고 놀랄 수밖에.

의자에 가만히 앉아 있지 못하고 다른 남학생보다 유독 더 몸부림치는 애가 있어서 물어봤다. “너도 선행학습 했어?”, “네.”, “어디까지 배웠어?”, “고1까지요.” 그러자 뒤에서 다른 남학생들이 깔깔 웃으면서 “뻥 치지마. 너 중3까지밖에 안 했잖아” 하면서 장난쳤다. 중학교 2학년이 중3 수학밖에 못 한다고 놀림 받는다니.

* 뱀발: 오해의 여지가 있을까봐 덧붙이자면, 나는 사람마다 지적인 능력이 다르고 도달할 수 있는 지적 수준도 다르기 때문에 같은 나이인 학생들이 같은 내용을 같은 수준으로 배우는 것 자체가 잘못이라고 생각한다. 머리가 좋으면 열일곱 살 때도 대학 가고 머리가 나쁘면 스물두 살에 고등학교 졸업할 수 있게 해야 한다. 선행학습이 문제인 것은 애가 수준이 안 되는데 부모가 억지로 시켜서 아이의 지적 능력이 발달하는 데 악영향을 끼치지 때문이지, 같은 나이의 다른 학생들과 다른 교육을 받아서가 아니다. 어쩌면, 무리하게 선행학습 받게 하는 것보다 똘똘한 애가 시골 살아서 수준 낮은 교육을 받는 것이 더 문제일 수도 있다.

(2016.07.19.)

2016/09/16

[강연] 최재천 교수

   
[EBS] 통찰 - 최재천 교수 & 최정규 교수
1. 생태학과 경제학의 만남 거품에 대한 색(色)다른 시선
2. 이기적 유전자, 이타적 인간을 말하다
  
  
(2016.09.06.)
    

2016/09/14

[한국 가요] 이승환 (Lee Seung-Hwan)

   

이승환 - 나는 다 너야
  
이승환 - 함께 있는 우리를 보고 싶다
  
이승환 - Fall To Fly  [<EBS 스페이스 공감> 1023회]
  
이승환 - 10억 광년의 신호
  
이승환 - 어떻게 사랑이 그래요  [콘서트 7080]
   
이승환 - 그대는 모릅니다
  
이승환 - 물어본다
   
이승환 - 화양연화
  
  
(2019.11.15.)
   

2016/09/13

[경제학의 철학] Reiss (2012), “The explanation paradox” 요약 정리 (미완성)

     

[ Julian Reiss (2012), “The explanation paradox”, Journal of Economic Methodology, 19(1): 43-62. ]
 
 
  1. Introduction
  2. A model
  3. Idealisations
  4. Explanation
    4.1 Economic models are true after all: in the abstract
    4.2 Economic models are not explanatory
    4.3 Explanation does not require truth
  5. Conclusion
 
 
  1. Introduction

- 경제학에서 성공적인 설명은 인과적 설명으로 여겨진다. (p.43)
- 인과적 설명은 그 설명이 참이 아닌 한 성공적일 수 없다. (p.43)


  2. A model


  3. Idealisations


  4. Explanation


설명의 역설 (p.49)
(i) 경제 모형은 거짓이다.
(ii) 참인 모형만이 설명을 한다.
(iii) 그런데도 경제 모형은 설명을 한다. 


(p.49)
진리값을 가지는 것은 모형이 아니라 모형의 문장이다.
-> 모형은 진리값을 가질 수 없다


    4.1 Economic models are true after all: in the abstract

■ (i)의 해결 전략 (p.50)
- 전략1: 모형은 많은 거짓을 포함하지만 그런데도 참이다. 모형은 본질적인 측면을 올바르게 표상하기 위해 대상의 어떤 측면을 잘못 표상할 수 있다. 
- 전략2: 모형은 추상적으로 참이다. 
- 카트라이트는 모형을 갈릴레이 식 사고실험으로 생각할 수 있다고 함
- 매키는 이러한 사고 과정을 isolation by idealisation이라고 함

■ 매키의 isolation by idealisation (p.50)
- 다른 요소들이 모든 actual systems에 영향을 미치므로 resulting model은 거짓이다.
- 하지만 resulting model은 관심을 가지는 causal factor의 작동을 포착한다.
- 모형이 그 자체로 참인 것이 아니지만 target systems의 메커니즘의 인과력에 관한 참 같은 참을 포함할 수 있다.
예) 이론적 가정은 모형이 target system의 인과력이나 메커니즘을 정확하게 표상하는 것을 진술하고 이러한 가정이 참일 수 있다.
- natural system은 neat scientific laws를 따르지 않으므로, 우리는 간단하고 관리가능하고 외부 영향에 자유로운 실험 상황을 만든다. 
- 이는 갈릴레이 사고 실험과 관련된다.
- 매키는 경제 모형이 갈릴레이 사고 실험과 같다고 본다.

■ 라이스의 비판1 (pp.51-52)
- 호텔링의 경제 모형은 갈릴레이 식 사고 실험과 거리가 멀다.
- 차이점1: 갈릴레이 식 가정은 갈릴레이 식 사고실험에 거의 등장하지 않지만, 비-갈릴레이 식 가정은 모형에 명시적으로 등장한다. 
- 차이점2: 갈릴레이 식 가정은 대체로 양적인 인과적 요소와 관련되지만 비-갈릴레이 식 가정은 범주적(categorical)이다.
- 차이점3: 갈릴레이 식 가정은 natural zero를 가지는 인과적 요소지만, 비-갈릴레이 식 가정은 natural zero를 가지지 않는다.

■ 라이스의 비판2 (p.52)
- 갈릴레이 식 가정은 방해 요소에서 분리된 인과적 요소가 무엇을 하는지 보여준다.
- 비-갈릴레이 식 가정은 다른 인과적 요소가 무엇을 하는지 보여주지 않는다. 
- 비-갈릴레이 식 가정은 model result를 모형 상황에만 국한한다.
- model result는 모형의 모든 가정에 의존하고, 모형의 많은 가정은 우리가 경험하는 많은 상황에서 거짓이다.

■ 라이스의 비판3 (p.52)
- robustness는 대체로 가능하지 않거나, 가능해도 그 결과가 부정적이다.

p.53 #1
호텔링이 논문을 출판한지 50년 후 그 모형의 주된 결과는 옳지 않은 것으로 드러났다.
그러나 최소차별화 원리는 타격을 받지 않았다.
왜냐하면 가격 경쟁 없는 게임이론적 설정을 포함하여, 결과를 유지하는 여러 가지 설정이 있어서.

p.53 #2
원래 호텔링 설정에서 두 가지 변경

p.53 #3
with robustness out of the window, 
인과력이나 인과적 메커니즘을 분리하기 위해 소개되는 ‘전략적 거짓’과 
인과력이나 인과적 메커니즘에 관한 참인 기술의 분리를 구분하는 것은 유지될 수 없다.
모형의 결과는 가정들의 전제적인 배열에 의존한다.


    4.2 Economic models are not explanatory

p. 53
호텔링이 원래 설정한 것에 대한 수정을 두 가지만 더 언급하겠다. 경쟁자 수가 둘이 아니라 셋이면 가운데 있는 사람이 항상 자신의 시장을 회복하기 위해 양 끝을 움직이기 때문에 안정성이 없다(Lerner and Singer 1937). 마지막으로, 교통 비용의 정확한 함수 형태가 중요하다. D’Aspremont 외(1979)는 호텔링 모형의 원래 결과가 옳지 않음을 보였지만 호텔링의 모형과 가능한 한 가까운 설정에서 균형을 계속 찾았다. 그들은 교통 비용이 일차 함수가 아니라 이차 함수인 것을 제외하고 호텔링의 모형과 설정이 동일한 모형에서 균형을 찾았다. 이 균형에서만 최대 차별화 원리가 유지되는 것이다!


    4.3 Explanation does not require truth


  5. Conclusion

 

(2022.05.03)
    

한강 작가 노벨문학상 수상 예언한 알라딘 독자 구매평 성지순례

졸업하게 해주세요. 교수되게 해주세요. 결혼하게 해주세요. ​ ​ ​ ​ ​ * 링크: [알라딘] 흰 - 2024 노벨문학상 수상작가, 한강 소설 ( www.aladin.co.kr/shop/wproduct.aspx?ItemId=143220344 ) ...