■ 일반각
반직선 OA가 고정되어 있고, 또 다른 반직선 OP가 점 O를 중심으로 회전한다면,
- 고정된 반직선 OA는 ‘시초선’
- 회전하는 반직선 OP는 ‘동경’
동경이 회전하는 방향은 두 가지
- 음의 방향: 시계 바늘이 도는 방향과 같은 방향
- 양의 방향: 시계 바늘이 도는 방향과 반대 방향
동경 OP가 점 O를 중심으로 얼마나 회전하였는지 각도를 이용하여 표현.
음의 방향으로 회전하였을 때는 그 각도에 음의 부호를 붙임.
각을 동경이 회전하는 양이라고 정의하면
360°보다 큰 각과 음의 각도 생각할 수 있음.
이와 같이 확장하여 생각한 각이 ‘일반각’
일반각 α°를 나타내는 동경을 OP라고 한다면
α° + 360°×n (단, n은 정수)
시초선 OA를 x축의 양의 방향으로 잡을 때,
동경 OP가 제 몇 사분면에 있는가에 따라
제1사분면의 각, 제2사분면의 각, 제3사분면의 각, 제4사분면의 각
동경 OP가 좌표축 위에 있을 때, 그 각은 어느 사분면에도 속하지 않음.
■ 호도법
반지름의 길이가 r인 원에서 호의 길이가 반지름의 길이 r와 같을 때,
그 호에 대한 중심각의 크기는 r의 값에 관계없이 일정함.
- 1라디안: 반지름의 길이와 호의 길이가 같은 부채꼴의 중심각의 크기
- 호도법: 라디안을 단위로 하여 각의 크기를 나타내는 방법
한 원에서 중심각의 크기는 그에 대한 호의 길이에 비례하므로
반지름의 길이가 𝑟인 원에서 중심각의 크기가 𝜃라디안인 부채꼴의 호의 길이 𝑙은
𝑙 = 𝑟𝜃
따라서 𝜃 = 𝑙/𝑟 로 나타낼 수 있다.
* 그리스 문자 h는 세타(theta)라고 읽는다.
여기서 𝜃라디안은 호의 길이와 반지름의 길이의 비를 나타내는 실수이므로 보통 단위를 생략함.
반지름의 길이가 1인 원에서 길이가 𝜃인 호에 대한 중심각의 크기는 𝜃임.
따라서 반지름의 길이가 1인 반원의 호의 길이가 𝜋이고, 그 중심각의 크기가 180°이므로
180° = 𝜋
반지름의 길이가 1인 원에서 호의 길이와 그에 대한 중심각의 크기는 같음.
■ 호도법을 쓰는 이유
원점 O를 중심으로 하는 단위원에서
호도법으로 나타낸 각의 크기는 그 각에 대한 호의 길이와 같음.
그러므로, 일반각을 좌표평면 위에 나타낼 때도 호도법을 이용하면 편리함.
원점 O를 중심으로 하는 단위원 위에 고정된 점 A(1, 0)이 있고,
다른 한 점 P가 이 원 위를 움직인다고 하자.
반직선 OA를 시초선으로 하고 반직선 OP를 동경으로 하는 일반각을 호도법으로 나타내면 점 P가 움직인 거리와 같음.
* 단위원: 반지름의 길이가 1인 원
■ 호도법과 60분법의 관계
180° = 𝜋이므로 육십분법과 호도법 사이에 다음과 같은 관계가 있음.
1 = 180°/𝜋
1° = 𝜋/180
육십분법으로 나타낸 각은 호도법으로,
호도법으로 나타낸 각은 육십분법으로 고칠 수 있음.
■ 부채꼴의 호의 길이와 넓이
반지름의 길이가 𝑟이고 중심각의 크기가 𝜃인
부채꼴의 호의 길이가 𝑙 = 𝑟𝜃 이므로
부채꼴의 넓이 S는
S = πr2 ×θ2π
= r2 ×θ2
=12r2θ
=12rl
(2020.12.15.)
