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- 명제논리는 표현의 기초 단위가 명제(원자 명제)
- 술어논리는 표현의 기본 단위가 명제를 구성하는 주어와 술어가 구분되어 각기 다르게 표현됨.
- 예문(1): 철수는 사람이다.
- 예문(1)에 대한 번역
• 명제논리에서의 번역: A
• 술어논리에서의 번역: Pa (a는 ‘철수’, P는 ‘사람이다’)
- 명제논리체계는, 주어가 고유명사이고 술어는 주어가 지시하는 개체의 속성을 나타내는 문장의 명제들로 구성된 논증들을 다루는 데 효과적인 논리 체계임.
- 그러나 다른 형식으로 구성된 문장들을 다룰 때 한계가 있음.
■ 술어논리에 대비되는 명제논리의 한계
- 한계(1): 일부 동어반복 명제들이 표현될 수 없음.
- 한계(2): 개체들 사이의 관계를 나타내는 명제들로 구성된 논증을 표현할 수 없음.
- 한계(3): 정언명제들로 구성된 논증을 표현할 수 없음.
- 명제논리의 한계는, 명제를 표현의 기본 단위로 삼는 명제논리의 특성 때문에 발생함.
- 술어논리는 이러한 한계를 모두 극복할 수 있음.
■ 명제논리에서 동어반복의 표현을 표현할 수 없는 이유
- 명제논리에서 표현의 기본 단위는 원자 명제임.
- 예문(2): 철수는 철수다.
- 예문(2)는 하나의 문장 기호를 사용하여 번역되어야 함.
• 예) A
- 예문(2)는 동일성을 나타내는 동어반복 명제로서 거짓일 가능성이 없는 논리적 참인 명제이지만, 명제논리에서 문장기호 A는 우연명제로 취급해야 함.
- 술어논리체계에서는 ‘a=a’와 같은 방식으로 동일성을 표현할 수 있음.
■ 명제논리에서 개체들 사이의 관계를 나타내는 명제들로 구성된 논증들을 표현할 수 없는 이유
- 논증(1): 철수는 영수보다 키가 크다.
영수는 은희보다 키가 크다.
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철수는 은희보다 키가 크다.
- 논증(1)의 전제와 결론은 모두 단문의 형태를 취하므로, 다음과 같이 번역함.
- 논증(2): A
B
──
C
- 논증(1)은 타당한 논증임.
- 논증(2)는 A와 B가 모두 T이고 C가 F인 가능성이 있으므로 타당한 논증이 아님.
- 술어논리체계에서는 이행성(transitivity)의 관계를 표현할 수 있음.
■ 명제논리에서 정언명제들로 구성된 논증들을 표현할 수 없는 이유
- 정언명제는 주어명사와 술어가 지시하는 두 집합의 관계를 나타내는 명제임.
- 논증(3): (a) 모든 사람은 포유동물이다.
(b) 철수는 사람이다.
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(c) 철수는 포유동물이다.
- 논증(3)은 타당한 논증임.
• (a)에 따르면, 사람의 집합의 모든 원소들은 포유동물의 집합의 원소
• (b)에 따르면, 철수는 사람의 집합의 한 원소
• 철수는 반드시 포유동물의 집합의 원소
- 논증(3)을 명제논리로 번역하면 타당한 논증이 아니게 됨.
• (b)와 (c)는 주어명사가 고유명사인 단문이므로 각기 하나의 문장 기호를 사용하여 번역할 수 있음.
• (a)는 집합을 주어명사와 집합을 나타내는 술어부로 구성된 정언진술임.
• 명제논리는 (a)와 (b)를 같은 형식의 단문으로 간주하여 원자 명제로 취급함.
- 논증(4): L
M
──
C
- 논증(4)은 타당한 논증 형식이 아님.
- 명제논리에서 위와 같은 문제를 해결하려면 주어명사를 나타내는 집합에 속한 모든 개체를 지시하는 고유명사들이 주어인 명제들을 ‘&’로 연결한 문장으로 번역해야 함.
- 정언명제인 (a)에 상응하는 표현은 다음과 같음.
(d) a는 포유동물이다. & b는 포유동물이다. & … & z는 포유동물이다.
- 이를 명제논리로 번역하면 다음과 같음.
(e) A & B & C & … & Z
- (a)를 (e)로 번역하면 다음과 같은 논증을 만들 수 있음.
- 논증(5): A & B & C & … & Z
M
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C
- 논증(5)과 같은 방식은 명제논리에서 가능한 방식이 아님.
• (a)를 (e)로 번역하려면 사람이라는 집합을 구성하는 원소들의 완벽한 목록이 있어야 하는데, 사람의 수는 무한히 클 것임.
• (e)는 사람의 집합을 구성하는 원소들 각각에 대해서만 언급하므로 (a)와 동일한 의미의 표현이 아님.
- 술어논리에서는 양화사를 사용하여 정언명제를 번역함.
■ 명제논리의 필요성
- 명제논리는 술어논리에 포함되므로 술어논리에서 다룰 수 있는 논리체계임.
- 그러나 명제논리는 일정한 형식의 명제들로 구성된 논증을 다룰 경우 가장 효과적으로 적합한 논리 체계임.
- 명제논리에서 다루는 기본 개념과 법칙들은 술어논리에서도 그대로 사용되므로, 명제논리에 대한 확실한 이해는 술어논리 학습을 위해 필요함.
* 참고 문헌
손병홍, 『논리학』, 소피아, 2000, 198-206쪽.
(2024.03.02.)
